Теорема Пифагора и способы ее доказательстваПожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение первой книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. Так, оптимист Миха и л Ломоносов (1711--1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». А вот ироничный Генрих Гейне (1797—1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам». Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII —V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки ») . В древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь» , время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э. — и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифаго ра столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейча с просто невозможно представить, что это словосочетание распа дется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказатель ство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Я рассмотрю некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современных школьных учебниках дается а л гебраическое доказательство теоремы. При этом бесследно исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется та нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым. Итак, Теорема Пифагора. Б иография Пифагора . Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора не известно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал. В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис – самосскую колонию, где было у кого найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Однако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное путешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой. Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам. Вавилонская математика была, бесспорно, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему поучится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена («пифагорейцы»), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Надо сказать, что некоторые из проповедуемых Пифагором принцыпов достойны подражания и сейчас. ...Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.
Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис. 1), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, — по два. Теорема доказана.
Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис. 2, а), не и спользуются. По-видимому, древнекитайские математики имел и другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (р и с. 2 , б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. 2, г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют « креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b , т.е. с 2 = а 2 +Ь 2 .
Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете —16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.
Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупне й шего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (рис. 4, а) с характерным для индийских доказательств словом «смотри !». Как видим, прямо-угольньные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с 2 перекладывается в «кресло невесты» а 2 - b 2 (рис. 4, б). Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата ) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII —V вв. до н.э.).
Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или др е внеиндийским выглядит чрезмерно сложным. По этой причине его нередко называли «ходульным» и «надуманным». Но такое мнение поверхностно. Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1- й книги «Начал». Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь, чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанных предложениях, Евклиду нужен был именно выбранный им путь. Еще давно была изобретена головоломка, называемая сегодня «Пифагор». Нетрудно убедиться в том, что в основе семи частей головоломки лежат равнобедренный прямоугольный треугольник и квадраты, построенные на его катетах, или, иначе, фигуры, составленные из 16 одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников и потому укладывающиеся в квадрат. Такова лишь малая толика богатств, скрытых в жемчужине античной математики — теореме Пифагора. Далее я рассмотрю несколько алгебраических доказательств теоремы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕ М Ы ПИФАГОРА. Пусть Т — прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 6, а). Докажем, что с 2 =а 2 + Ь 2 . Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. 6, б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники Т 1 , Т 2 , Т 3 , Т 4 с катетами а и b. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р — квадрат со стороной с. Все треугольники Т 1 , Т 2 , Т 3 , Т 4 равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипот е нузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые. Пусть a и b — велич и ны острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a + b = 90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р вмес т е с углами, равными a и b , составляет развернутый угол. П о этому a + b = 180°. И так как a + b = 90°, то g = 90 °. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырех у гольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р — квадрат со стороной с. |
Теорема Пифагора и способы ее доказательства
Психология, Общение, Человек
История
Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика
Педагогика
Медицина
Бухгалтерский учет
Радиоэлектроника
Музыка
География, Экономическая география
Архитектура
Авиация
Трудовое право
Военная кафедра
Транспорт
Литература, Лингвистика
Искусство
История отечественного государства и права
Культурология
Менеджмент (Теория управления и организации)
Налоговое право
Компьютерные сети
Российское предпринимательское право
Банковское дело и кредитование
Компьютеры и периферийные устройства
Биология
Нероссийское законодательство
Государственное регулирование, Таможня, Налоги
Философия
Муниципальное право России
Международные экономические и валютно-кредитные отношения
Компьютеры, Программирование
Религия
Ветеринария
Теория государства и права
Социология
Право
Химия
Политология, Политистория
Маркетинг, товароведение, реклама
Законодательство и право
Математика
Металлургия
Охрана природы, Экология, Природопользование
Геология
Технология
Разное
История государства и права зарубежных стран
Конституционное (государственное) право России
Программирование, Базы данных
Гражданское право
Гражданское процессуальное право
Международное право
Таможенное право
Криминалистика и криминология
Страховое право
Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство
Правоохранительные органы
Физика
Астрономия
Семейное право
Римское право
Экскурсии и туризм
Программное обеспечение
Техника
Теория систем управления
Сельское хозяйство
Историческая личность
Конституционное (государственное) право зарубежных стран
Ценные бумаги
Уголовное и уголовно-исполнительное право
Уголовное право
Арбитражно-процессуальное право
Земельное право
Финансовое право
Физкультура и Спорт
Экологическое право
Охрана правопорядка
Гражданская оборона
Юридическая психология
Здоровье
Материаловедение
Административное право
Адвокатура
Подобные работы
Теорема Пифагора и способы ее доказательства
echo "Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина т
Теорема Пифагора
echo "Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого . Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.
Реализация адаптивно-модульной технологии на примере курса теории вероятностей
echo "Реализация адаптивно-модульной технологии обучения рассмотрена на примере изучения курса теории вероятностей. Работа адресована преподавателям и студентам. Рецензенты: А.Н. Тырсин, доктор физи